問題は2次関数 $y = ax^2$ に関する以下の問いです。 (1) グラフが点(2, 8)を通るときの$a$の値を求める。 (2) $x$の変域が$-1 \leq x \leq 3$のときの、$y$の変域を求める。 (3) 点A(-2, -2), B(4, -2)に対し、関数 $y=ax^2$ 上の点PをCからDまで動かすとき、 (ア) 点Pが(2, 8)にあるときの△ABPの面積を求める。 (イ) △ABPの面積の最大値と最小値、およびそのときの点Pの座標を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

問題は2次関数 $y = ax^2$ に関する以下の問いです。

(1) グラフが点(2, 8)を通るときの$a$の値を求める。

(2) $x$の変域が$-1 \leq x \leq 3$のときの、$y$の変域を求める。

(3) 点A(-2, -2), B(4, -2)に対し、関数 $y=ax^2$ 上の点PをCからDまで動かすとき、

(ア) 点Pが(2, 8)にあるときの△ABPの面積を求める。

(イ) △ABPの面積の最大値と最小値、およびそのときの点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$の値を求める。

グラフが点(2, 8)を通るので、$y = ax^2$に $x = 2$, $y = 8$ を代入する。

$8 = a \cdot 2^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

(2) $y$の変域を求める。

$y = 2x^2$ で、 $x$の変域が$-1 \leq x \leq 3$である。

$x = 0$を含むので、$y$の最小値は0である。

$x = 3$のとき、$y = 2 \cdot 3^2 = 18$

よって、$y$の変域は $0 \leq y \leq 18$

(3) (ア) 点Pが(2, 8)にあるときの△ABPの面積を求める。

A(-2, -2), B(4, -2), P(2, 8)である。

ABを底辺とすると、底辺の長さは $4 - (-2) = 6$

高さはPのy座標からA,Bのy座標を引いたものなので、$8 - (-2) = 10$

△ABPの面積は $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$

(3) (イ) △ABPの面積の最大値と最小値を求める。

A(-2, -2), B(4, -2)より、ABの長さは6で固定。

△ABPの面積は、Pのy座標によって決まる。

y = 2x^2において、xの変域は-1から3なので、yの最大値は18, 最小値は0である。

Pのy座標が最大となるのはy=18のときで、$2x^2 = 18$より$x^2 = 9$、$x = \pm 3$

x=-3は範囲外なので、$x=3$、P(3,18)

Pのy座標が最小となるのはy=0のときで、$2x^2 = 0$より$x=0$、P(0,0)

P(3, 18)のとき、高さは$18 - (-2) = 20$なので、面積は $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 20 = 60$

P(0, 0)のとき、高さは$0 - (-2) = 2$なので、面積は $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

したがって、△ABPの面積の最大値は60、そのときのPの座標は(3, 18)。

最小値は6、そのときのPの座標は(0, 0)。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $0 \leq y \leq 18$

(3) (ア) 30

(イ) 最大値: 60 (P(3, 18)), 最小値: 6 (P(0, 0))