問題は、いくつかの式の展開です。今回は、問題(2),(4),(6)を解きます。 (2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ (4) $(a-b+c)(a+b-c)$ (6) $(2x+1)(x+2)(2x-1)(x-2)$

1. 問題の内容

問題は、いくつかの式の展開です。今回は、問題(2),(4),(6)を解きます。

(2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$

(4) $(a-b+c)(a+b-c)$

(6) $(2x+1)(x+2)(2x-1)(x-2)$

2. 解き方の手順

(2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ を展開します。

まず、$(x+1)(x-1)$ と $(x-2)(x-4)$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$

したがって、

$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4) = (x^2-1)(x^2-6x+8)$

さらに展開すると、

$(x^2-1)(x^2-6x+8) = x^4 - 6x^3 + 8x^2 - x^2 + 6x - 8 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(4) $(a-b+c)(a+b-c)$ を展開します。

この式は、$(a-(b-c))(a+(b-c))$ と見ることができます。

すると、これは $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の形であるため、

$(a-(b-c))(a+(b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

(6) $(2x+1)(x+2)(2x-1)(x-2)$ を展開します。

まず、$(2x+1)(2x-1)$ と $(x+2)(x-2)$ をそれぞれ展開します。

$(2x+1)(2x-1) = 4x^2 - 1$

$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

したがって、

$(2x+1)(x+2)(2x-1)(x-2) = (4x^2-1)(x^2-4)$

さらに展開すると、

$(4x^2-1)(x^2-4) = 4x^4 - 16x^2 - x^2 + 4 = 4x^4 - 17x^2 + 4$

3. 最終的な答え

(2) $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(4) $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

(6) $4x^4 - 17x^2 + 4$