$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^3$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^3$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^3$ を展開するために、 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を利用します。

ここで $a = \sqrt{5}$、 $b = \sqrt{2}$ とします。

$(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$

$(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^3 = (\sqrt{5})^3 - 3(\sqrt{5})^2(\sqrt{2}) + 3(\sqrt{5})(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3$

$= 5\sqrt{5} - 3(5)\sqrt{2} + 3\sqrt{5}(2) - 2\sqrt{2}$

$= 5\sqrt{5} - 15\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$

$= (5\sqrt{5} + 6\sqrt{5}) + (-15\sqrt{2} - 2\sqrt{2})$

$= 11\sqrt{5} - 17\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$11\sqrt{5} - 17\sqrt{2}$