## 問題1の内容

## 問題1の内容

加法定理を用いて $\sin 15^\circ$ の値を求めよ。

## 解き方の手順

$\sin 15^\circ$は、$\sin (45^\circ - 30^\circ)$と表せるので、加法定理を用いて展開します。加法定理は以下の通りです。

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

この式に$A = 45^\circ$、$B = 30^\circ$を代入すると、

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、これらの値を代入します。

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

## 最終的な答え

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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## 問題2の内容

$\lim_{x \to 0+} x^x$ の極限値を求めよ。

## 解き方の手順

$y = \lim_{x \to 0+} x^x$とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \lim_{x \to 0+} \log x^x = \lim_{x \to 0+} x \log x$

$\lim_{x \to 0+} x \log x$ は $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$\frac{\log x}{1/x}$ と変形し、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0+} \frac{\log x}{1/x}$ は $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0+} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x \to 0+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0+} (-x) = 0$

よって、$\log y = 0$

$y = e^0 = 1$

## 最終的な答え

$\lim_{x \to 0+} x^x = 1$