関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ における $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ における $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = x^y$ を $x$ で偏微分する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

次に、$\frac{\partial f}{\partial x}$ をさらに $x$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y(y-1)x^{y-2}$

そして、それぞれの偏導関数に $(x, y) = (1, e)$ を代入する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e(1)^{e-1} = e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e(e-1)(1)^{e-2} = e(e-1) = e^2 - e$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e^2 - e$