曲面 $f(x, y, z) = 4x + 8y^2 - \frac{2}{3}z^3 - 10 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ が曲面 $f(x, y, z) = 0$ 上の点であるとき、$a$ の値を求めます。 (2) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ での曲面 $f(x, y, z) = 0$ の接平面の方程式を $bx + cy + dz = 1$ の形で表し、$b, c, d$ の値を求めます。 (3) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ での曲面 $f(x, y, z) = 0$ の法線が点 $(e, f, -6)$ を通るとき、$e, f$ の値を求めます。

1. 問題の内容

曲面 $f(x, y, z) = 4x + 8y^2 - \frac{2}{3}z^3 - 10 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ が曲面 $f(x, y, z) = 0$ 上の点であるとき、$a$ の値を求めます。

(2) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ での曲面 $f(x, y, z) = 0$ の接平面の方程式を $bx + cy + dz = 1$ の形で表し、$b, c, d$ の値を求めます。

(3) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ での曲面 $f(x, y, z) = 0$ の法線が点 $(e, f, -6)$ を通るとき、$e, f$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(3, \sqrt{2}, a)$ が曲面 $f(x, y, z) = 0$ 上の点であるので、$f(3, \sqrt{2}, a) = 0$ が成り立ちます。

$4(3) + 8(\sqrt{2})^2 - \frac{2}{3}a^3 - 10 = 0$

$12 + 16 - \frac{2}{3}a^3 - 10 = 0$

$18 - \frac{2}{3}a^3 = 0$

$\frac{2}{3}a^3 = 18$

$a^3 = 27$

$a = 3$

(2) 曲面 $f(x, y, z) = 0$ の点 $(3, \sqrt{2}, 3)$ における接平面の方程式は、以下のようにして求めます。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 16y$

$\frac{\partial f}{\partial z} = -2z^2$

点 $(3, \sqrt{2}, 3)$ における偏微分の値は次のようになります。

$\frac{\partial f}{\partial x}(3, \sqrt{2}, 3) = 4$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3, \sqrt{2}, 3) = 16\sqrt{2}$

$\frac{\partial f}{\partial z}(3, \sqrt{2}, 3) = -2(3)^2 = -18$

接平面の方程式は次のようになります。

$4(x - 3) + 16\sqrt{2}(y - \sqrt{2}) - 18(z - 3) = 0$

$4x - 12 + 16\sqrt{2}y - 32 - 18z + 54 = 0$

$4x + 16\sqrt{2}y - 18z + 10 = 0$

$4x + 16\sqrt{2}y - 18z = -10$

この式を $bx + cy + dz = 1$ の形にするために、両辺を $-10$ で割ります。

$-\frac{2}{5}x - \frac{8\sqrt{2}}{5}y + \frac{9}{5}z = 1$

よって、$b = -\frac{2}{5}$, $c = -\frac{8\sqrt{2}}{5}$, $d = \frac{9}{5}$ です。

(3) 点 $(3, \sqrt{2}, 3)$ での法線の方程式は次のようになります。

$\frac{x - 3}{4} = \frac{y - \sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{z - 3}{-18}$

この法線が点 $(e, f, -6)$ を通るので、

$\frac{e - 3}{4} = \frac{f - \sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{-6 - 3}{-18}$

$\frac{-9}{-18} = \frac{1}{2}$ より、

$\frac{e - 3}{4} = \frac{1}{2}$

$e - 3 = 2$

$e = 5$

$\frac{f - \sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$f - \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

$f = 9\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = -\frac{2}{5}$, $c = -\frac{8\sqrt{2}}{5}$, $d = \frac{9}{5}$

(3) $e = 5$, $f = 9\sqrt{2}$