与えられた二つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2}$ を求める。

まず、$\frac{1}{n}$ をくくり出すと、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{n + \frac{k^2}{n}}$

これは区分求積法で計算できる。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{\frac{k}{n}}{1 + (\frac{k}{n})^2} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^2} dx$

$u = 1+x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ より、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln u]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2$

(2)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$ を求める。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{1 + (\frac{k}{n})^2}$

これは区分求積法で計算できる。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{1 + (\frac{k}{n})^2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx = [\arctan x]_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln 2$

(2) $\frac{\pi}{4}$