与えられた関数の極値、凹凸、漸近線を調べて、その曲線 $y = f(x)$ の概形を描く問題です。今回は、(3) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ を解きます。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数の極値、凹凸、漸近線を調べて、その曲線 $y = f(x)$ の概形を描く問題です。今回は、(3) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：

$x \neq 0$ より、定義域は $x<0$ および $x>0$です。

(2) 導関数：

$f'(x)$と$f''(x)$を計算します。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$

$f''(x) = \frac{2}{x^3}$

(3) 極値：

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$

$x = -1$ のとき、$f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$

$f''(1) = 2 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値 $2$ をとります。

$f''(-1) = -2 < 0$ なので、$x = -1$ で極大値 $-2$ をとります。

(4) 凹凸：

$f''(x)$ の符号を調べます。

$x > 0$ のとき、$f''(x) > 0$ なので、下に凸です。

$x < 0$ のとき、$f''(x) < 0$ なので、上に凸です。

(5) 漸近線：

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ です。

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$ です。

$x \to +0$ のとき、$f(x) \to \infty$ です。

$x \to -0$ のとき、$f(x) \to -\infty$ です。

$y = x$ が漸近線であることを確認します。

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$

したがって、$y=x$は漸近線です。

(6) グラフの概形：

極値、凹凸、漸近線を考慮してグラフを描きます。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ は、

- $x = 1$ で極小値 $2$ をとる。

- $x = -1$ で極大値 $-2$ をとる。

- $x > 0$ で下に凸、 $x < 0$ で上に凸。

- $x = 0$ が垂直漸近線。

- $y = x$ が斜め漸近線。