定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log(\sin x)}{\tan x} dx$ を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log(\sin x)}{\tan x} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$u = \log(\sin x)$ と置換する。すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$

したがって、$du = \frac{1}{\tan x} dx$ となる。

積分区間も変換する。

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、$u = \log(\sin \frac{\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2}) = -\log 2$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \log(\sin \frac{\pi}{4}) = \log(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2} \log 2$

よって、積分は

$\int_{-\log 2}^{-\frac{1}{2}\log 2} u du$

となる。

これを計算すると、

$\int_{-\log 2}^{-\frac{1}{2}\log 2} u du = \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{-\log 2}^{-\frac{1}{2}\log 2} = \frac{1}{2} \left( \left( -\frac{1}{2}\log 2 \right)^2 - (-\log 2)^2 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} (\log 2)^2 - (\log 2)^2 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} (\log 2)^2 \right) = -\frac{3}{8} (\log 2)^2$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{8}(\log 2)^2$