次の定積分を求める問題です。 $\int_{7}^{14} \frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}$

1. 問題の内容

次の定積分を求める問題です。

$\int_{7}^{14} \frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}$

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{x+2}$ と置換します。すると、$x = t^2 - 2$、$dx = 2t dt$ となります。

積分区間は、$x=7$ のとき $t = \sqrt{7+2} = 3$、$x=14$ のとき $t = \sqrt{14+2} = 4$ となります。したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{7}^{14} \frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} = \int_{3}^{4} \frac{2t dt}{(t^2-2-2)t} = \int_{3}^{4} \frac{2 dt}{t^2-4}$

さらに、$t^2-4 = (t-2)(t+2)$ であるから、部分分数分解を行います。

$\frac{2}{t^2-4} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t+2}$

$2 = A(t+2) + B(t-2)$

$t=2$ を代入すると、$2 = 4A$ より $A = \frac{1}{2}$

$t=-2$ を代入すると、$2 = -4B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{2}{t^2-4} = \frac{1/2}{t-2} - \frac{1/2}{t+2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-2} - \frac{1}{t+2} \right)$

よって、積分は以下のようになります。

$\int_{3}^{4} \frac{2 dt}{t^2-4} = \frac{1}{2} \int_{3}^{4} \left( \frac{1}{t-2} - \frac{1}{t+2} \right) dt$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln|t-2| - \ln|t+2| \right]_{3}^{4} = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{t-2}{t+2} \right| \right]_{3}^{4}$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{6} - \ln \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{5}{3}$