曲線 $C$ が $y = 2x^2$ で定義され、点 $(0, 0)$ から点 $(1, 2)$ へ向かうとき、線積分 $\int_C \{xy \, dx + (x^2 - y^2) \, dy\}$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $C$ が $y = 2x^2$ で定義され、点 $(0, 0)$ から点 $(1, 2)$ へ向かうとき、線積分 $\int_C \{xy \, dx + (x^2 - y^2) \, dy\}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2$ であることから、$dy = 4x \, dx$ となります。

線積分を $x$ についての積分に書き換えます。$x$ は $0$ から $1$ まで変化します。

$xy \, dx + (x^2 - y^2) \, dy$ に $y = 2x^2$ と $dy = 4x \, dx$ を代入します。

すると、$x(2x^2) \, dx + (x^2 - (2x^2)^2) \, (4x \, dx)$ となります。

これを整理すると、$2x^3 \, dx + (x^2 - 4x^4) (4x \, dx) = 2x^3 \, dx + (4x^3 - 16x^5) \, dx = (6x^3 - 16x^5) \, dx$ となります。

したがって、線積分は $\int_0^1 (6x^3 - 16x^5) \, dx$ となります。

これを計算します。

$\int_0^1 (6x^3 - 16x^5) \, dx = \left[\frac{6}{4}x^4 - \frac{16}{6}x^6\right]_0^1 = \left[\frac{3}{2}x^4 - \frac{8}{3}x^6\right]_0^1 = \frac{3}{2}(1)^4 - \frac{8}{3}(1)^6 - \left(\frac{3}{2}(0)^4 - \frac{8}{3}(0)^6\right) = \frac{3}{2} - \frac{8}{3} = \frac{9 - 16}{6} = -\frac{7}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{6}$