関数 $\log \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan{\frac{y}{x}} - \frac{\pi}{3} + \log 2$ で定義される陰関数 $y = y(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $(x,y) = (1, \sqrt{3})$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めます。 (2) $(x,y) = (1, \sqrt{3})$ における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $\log \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan{\frac{y}{x}} - \frac{\pi}{3} + \log 2$ で定義される陰関数 $y = y(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $(x,y) = (1, \sqrt{3})$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めます。

(2) $(x,y) = (1, \sqrt{3})$ における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\log \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan{\frac{y}{x}} - \frac{\pi}{3} + \log 2$ の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

$\frac{2x + 2y \frac{dy}{dx}}{2(x^2+y^2)} = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2(1+\frac{y^2}{x^2})}$

$\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{x^2+y^2} = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2+y^2}$

$x + y \frac{dy}{dx} = x\frac{dy}{dx} - y$

$(x-y)\frac{dy}{dx} = x+y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$

$(x,y) = (1, \sqrt{3})$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ を $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1+\frac{dy}{dx})(x-y) - (x+y)(1-\frac{dy}{dx})}{(x-y)^2} = \frac{x-y+x\frac{dy}{dx}-y\frac{dy}{dx}-x-y+x\frac{dy}{dx}+y\frac{dy}{dx}}{(x-y)^2} = \frac{2x\frac{dy}{dx} - 2y}{(x-y)^2} = \frac{2(x\frac{dy}{dx} - y)}{(x-y)^2}$

$(x,y) = (1, \sqrt{3})$、$\frac{dy}{dx} = -2-\sqrt{3}$ を代入すると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1(-2-\sqrt{3}) - \sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})^2} = \frac{2(-2-2\sqrt{3})}{1-2\sqrt{3}+3} = \frac{-4-4\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} = \frac{-2-2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(-2-2\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{-4-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}-6}{4-3} = \frac{-10-6\sqrt{3}}{1} = -10 - 6\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -2 - \sqrt{3}$

(2) $\frac{d^2y}{dx^2} = -10 - 6\sqrt{3}$