不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx$ を部分積分を用いて計算する。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx$ を部分積分を用いて計算する。

2. 解き方の手順

まず、$u = x+2$ とおくと、$du = dx$ となる。

また、$dv = \frac{1}{(x-4)^3} dx$ とおくと、$v = \int \frac{1}{(x-4)^3} dx = \int (x-4)^{-3} dx = \frac{(x-4)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x-4)^2}$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx = (x+2) \left(-\frac{1}{2(x-4)^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2(x-4)^2}\right) dx$$

$$= -\frac{x+2}{2(x-4)^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-4)^2} dx$$

$$= -\frac{x+2}{2(x-4)^2} + \frac{1}{2} \int (x-4)^{-2} dx$$

$$= -\frac{x+2}{2(x-4)^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x-4)^{-1}}{-1} + C$$

$$= -\frac{x+2}{2(x-4)^2} - \frac{1}{2(x-4)} + C$$

$$= -\frac{x+2}{2(x-4)^2} - \frac{x-4}{2(x-4)^2} + C$$

$$= -\frac{x+2+x-4}{2(x-4)^2} + C$$

$$= -\frac{2x-2}{2(x-4)^2} + C$$

$$= -\frac{x-1}{(x-4)^2} + C$$

3. 最終的な答え

$-\frac{x-1}{(x-4)^2} + C$