4点O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2)を頂点とする台形の左回りの周をCとするとき、線積分 $\int_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy$ を求める。

1. 問題の内容

4点O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2)を頂点とする台形の左回りの周をCとするとき、線積分

$\int_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy$

を求める。

2. 解き方の手順

グリーンの定理を利用して線積分を面積分に変換する。グリーンの定理は、平面上の領域Dの境界C（反時計回り）に対して、

$\int_C P dx + Q dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$

で与えられる。

この問題では、$P = 2x+5y+20$、$Q = 3x+2y+10$ である。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 3$

$\frac{\partial P}{\partial y} = 5$

したがって、

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 - 5 = -2$

よって、

$\int_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy = \iint_D (-2) dA = -2 \iint_D dA$

ここで$\iint_D dA$は領域Dの面積を表す。Dは台形なので、その面積を計算する。

台形の高さは2。上底は$2.5-0.5=2$、下底は$3-0=3$。

よって台形の面積は $\frac{1}{2} \times (2+3) \times 2 = 5$ である。

したがって、

$\int_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy = -2 \times 5 = -10$

3. 最終的な答え

-10