定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分変数を変換します。

$x = \pi - t$ と置換すると、$dx = -dt$となります。

$x$ が 0 から $\pi$ まで変化するとき、$t$ は $\pi$ から 0 まで変化します。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin (\pi - t)}{1 + \cos^2 (\pi - t)} (-dt)$

$\sin(\pi - t) = \sin t$ および $\cos(\pi - t) = -\cos t$ であることを用いると、

$\int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin (\pi - t)}{1 + \cos^2 (\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1 + (-\cos t)^2} dt = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

ここで、積分変数を$t$から$x$に戻しました。

すると、元の積分を $I$ とおくと、

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

一方、置換積分を行った結果から、

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx - I$

したがって、

$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

$x$ が 0 から $\pi$ まで変化するとき、$u$ は 1 から -1 まで変化します。

したがって、

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1 + u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

よって、

$2I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$

$I = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4}$