三角形ABCにおいて、$a=5$, $b=3$, $c=7$であるとき、角Cの大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5$, $b=3$, $c=7$であるとき、角Cの大きさを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

したがって、

$\cos{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入すると、

$\cos{C} = \frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{34 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos{C} = -\frac{1}{2}$となるような角Cを求める。$0^\circ < C < 180^\circ$ の範囲で考えると、

$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$C = 120^\circ$