与えられた二次曲線 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ の概形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次曲線 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ の概形を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 回転角 $\theta$ を求めて、xy項を消去します。回転角 $\theta$ は、

$\tan 2\theta = \frac{2h}{a-c}$ で与えられます。ここで、$ax^2 + 2hxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ の形で二次曲線を表すと、$a = 5$, $h = 1$, $c = 1$ です。よって、

$\tan 2\theta = \frac{2}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $\cos 2\theta$ を求めます。

$\tan 2\theta = \frac{1}{2}$ より、$1 + \tan^2 2\theta = \frac{1}{\cos^2 2\theta}$ なので、

$1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 2\theta}$

$\frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2 2\theta}$

$\cos^2 2\theta = \frac{4}{5}$

$\cos 2\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

(3) $\sin \theta$ と $\cos \theta$ を求めます。

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ を利用します。

$2\cos^2 \theta - 1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$2\cos^2 \theta = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5}}$

$\cos^2 \theta = \frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{10}$

$\cos \theta = \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{10}}$

$1 - 2\sin^2 \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$2\sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5}}$

$\sin^2 \theta = \frac{\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}} = \frac{5 - 2\sqrt{5}}{10}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{5}}{10}}$

(4) 座標変換を行います。

$x = X\cos\theta - Y\sin\theta$

$y = X\sin\theta + Y\cos\theta$

を元の式に代入し、$XY$の項を消去します。

(5) 得られた式は、$AX^2 + BY^2 = 16$ の形になります。

$A, B$ を求めると、

$A = 5\cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta$

$B = 5\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$ なので、$\tan2\theta = \frac{1}{2}$ より、$\sin2\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$. $\cos2\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$A = 5(\frac{5+2\sqrt{5}}{10}) + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{5-2\sqrt{5}}{10} = \frac{25 + 10\sqrt{5} + 10/\sqrt{5} + 5 - 2\sqrt{5}}{10} = \frac{30 + 8\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{10} = \frac{30+10\sqrt{5}}{10} = 3 + \sqrt{5}$

$B = 5(\frac{5-2\sqrt{5}}{10}) - \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{5+2\sqrt{5}}{10} = \frac{25 - 10\sqrt{5} - 10/\sqrt{5} + 5 + 2\sqrt{5}}{10} = \frac{30 - 8\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{10} = \frac{30 - 10\sqrt{5}}{10} = 3 - \sqrt{5}$

したがって、楕円の式は $(3+\sqrt{5})X^2 + (3-\sqrt{5})Y^2 = 16$ となります。

3. 最終的な答え

与えられた二次曲線は楕円であり、その標準形は $(3+\sqrt{5})X^2 + (3-\sqrt{5})Y^2 = 16$ で表されます。