与えられた2次曲線 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ の概形と面積を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次曲線 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ の概形と面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を回転させて $xy$ の項を消去することを考えます。回転角を $\theta$ とすると、

$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$

$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$

を元の式に代入します。

$5(x' \cos \theta - y' \sin \theta)^2 + 2(x' \cos \theta - y' \sin \theta)(x' \sin \theta + y' \cos \theta) + (x' \sin \theta + y' \cos \theta)^2 = 16$

展開して整理すると、

$(5 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) x'^2 + (-10 \cos \theta \sin \theta + 2 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta) x'y' + (5 \sin^2 \theta - 2 \cos \theta \sin \theta + \cos^2 \theta) y'^2 = 16$

$xy$ の項を消すためには、

$-10 \cos \theta \sin \theta + 2 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta = 0$

$-8 \cos \theta \sin \theta + 2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$

$-4 \sin 2 \theta + 2 \cos 2 \theta = 0$

$2 \cos 2 \theta = 4 \sin 2 \theta$

$\tan 2 \theta = \frac{1}{2}$

$2 \theta = \arctan \frac{1}{2}$ なので、$\cos 2\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}}$,

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} = \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}}$.

$\cos \theta = \sqrt{\frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}}}$, $\sin \theta = \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}}}$.

回転後の式は、

$(5 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) x'^2 + (5 \sin^2 \theta - 2 \cos \theta \sin \theta + \cos^2 \theta) y'^2 = 16$

$\cos \theta \sin \theta = \sqrt{\frac{5-4}{4\cdot 5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

$(5 (\frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}}) + 2 (\frac{1}{2\sqrt{5}}) + (\frac{\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}})) x'^2 + (5(\frac{\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}}) - 2 (\frac{1}{2\sqrt{5}}) + (\frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}})) y'^2 = 16$

$(\frac{5\sqrt{5} + 10 + 2 + \sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}}) x'^2 + (\frac{5\sqrt{5} - 10 - 2 + \sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}}) y'^2 = 16$

$(\frac{6\sqrt{5} + 10}{2\sqrt{5}}) x'^2 + (\frac{6\sqrt{5} - 10}{2\sqrt{5}}) y'^2 = 16$

$(\frac{3\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5}}) x'^2 + (\frac{3\sqrt{5} - 5}{\sqrt{5}}) y'^2 = 16$

$(3 + \sqrt{5}) x'^2 + (3 - \sqrt{5}) y'^2 = 16$

$\frac{x'^2}{\frac{16}{3 + \sqrt{5}}} + \frac{y'^2}{\frac{16}{3 - \sqrt{5}}} = 1$

$\frac{x'^2}{\frac{16(3 - \sqrt{5})}{4}} + \frac{y'^2}{\frac{16(3 + \sqrt{5})}{4}} = 1$

$\frac{x'^2}{4(3 - \sqrt{5})} + \frac{y'^2}{4(3 + \sqrt{5})} = 1$

これは楕円の方程式です。

$a^2 = 4(3 - \sqrt{5})$, $b^2 = 4(3 + \sqrt{5})$

$a = 2\sqrt{3 - \sqrt{5}}$, $b = 2\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

楕円の面積は $\pi ab$ なので、

$S = \pi (2\sqrt{3 - \sqrt{5}})(2\sqrt{3 + \sqrt{5}}) = 4\pi \sqrt{9 - 5} = 4\pi \sqrt{4} = 8\pi$

3. 最終的な答え

楕円の面積は $8\pi$