2次関数 $y = (x-1)^2 - 2$ のグラフを描き、最大値または最小値を求めなさい。

## 問題の回答

### 4 (1) ①

1. 問題の内容

2次関数 $y = (x-1)^2 - 2$ のグラフを描き、最大値または最小値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y = (x-1)^2 - 2$ は下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, -2)$ である。

したがって、$x=1$ のとき $y$ の値は最小となり、最小値は $-2$ である。

上に凸ではないので、最大値は存在しない。

3. 最終的な答え

$x=1$ のとき $y$ の値は最小となり、最小値は $-2$ である。最大値はない。

### 4 (1) ②

1. 問題の内容

2次関数 $y = -(x-2)^2 + 5$ のグラフを描き、最大値または最小値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y = -(x-2)^2 + 5$ は上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 5)$ である。

したがって、$x=2$ のとき $y$ の値は最大となり、最大値は $5$ である。

下に凸ではないので、最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

$x=2$ のとき $y$ の値は最大となり、最大値は $5$ である。最小値はない。

### 5

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 1$ ($0 \leq x \leq 4$) の最大値と最小値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

このグラフは下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, 0)$ である。

$x=0$ のとき、$y = (0-1)^2 = 1$

$x=4$ のとき、$y = (4-1)^2 = 9$

グラフは $0 \leq x \leq 4$ の範囲で定義されているので、この範囲での最大値と最小値を考える。

頂点の $x$ 座標は $x=1$ であり、$0 \leq x \leq 4$ の範囲に含まれる。

$x=1$ のとき最小値 $y=0$ をとり、$x=4$ のとき最大値 $y=9$ をとる。

3. 最終的な答え

$x=1$ のとき最小値は $0$ である。

$x=4$ のとき最大値は $9$ である。

### 6

1. 問題の内容

長さ $12m$ のロープで長方形の囲いを作る。囲いの面積が最も大きくなるのはどのような長方形の時かを答える。

2. 解き方の手順

① たての長さを $x m$ とすると、よこの長さは $(12/2) - x = (6 - x) m$

② 長方形の面積は たて × よこ で計算するため、囲いの面積を $y m^2$ とすると、

$y = x(6-x) = -x^2 + 6x$

③ 2次関数 $y = -x^2 + 6x$ の最大値を計算する。

$y = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -((x - 3)^2 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

このグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(3, 9)$ である。

したがって、$x=3$ のとき最大値 $y=9$ をとる。

つまり、たての長さが $3m$ のとき、よこの長さは $6-3 = 3m$ となり、面積が最大となるのは正方形のときである。

3. 最終的な答え

グラフより、$x=3$ のとき最大値は $9$ である。

以上より、囲いの面積を最大にするには、1辺の長さを $3m$ にすればよい。