(114) $\sqrt{10-n}$ が正の整数となるような正の整数 $n$ の値をすべて求めよ。 (115) $\sqrt{\frac{20}{n}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。 (116) $a < \sqrt{30}$ となる自然数 $a$ のうち、最も大きいものを求めよ。 (117) 次の数の中から、無理数をすべて選びなさい。 $\sqrt{2}, \sqrt{9}, \frac{5}{7}, -0.6, \pi$ (118) $x = 5 + \sqrt{3}, y = 5 - \sqrt{3}$ のとき、 $x^2 + 2xy + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(114) $\sqrt{10-n}$ が正の整数となるような正の整数 $n$ の値をすべて求めよ。

(115) $\sqrt{\frac{20}{n}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

(116) $a < \sqrt{30}$ となる自然数 $a$ のうち、最も大きいものを求めよ。

(117) 次の数の中から、無理数をすべて選びなさい。 $\sqrt{2}, \sqrt{9}, \frac{5}{7}, -0.6, \pi$

(118) $x = 5 + \sqrt{3}, y = 5 - \sqrt{3}$ のとき、 $x^2 + 2xy + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(114)

$\sqrt{10-n}$ が正の整数であるとき、$10-n$ は正の整数の平方数でなければならない。

$10-n > 0$ より、$n < 10$ である。

$10-n = 1, 4, 9$ となる。

$10-n = 1$ のとき、$n = 9$

$10-n = 4$ のとき、$n = 6$

$10-n = 9$ のとき、$n = 1$

よって、$n = 1, 6, 9$

(115)

$\sqrt{\frac{20}{n}}$ が自然数であるとき、$\frac{20}{n}$ は自然数の平方数でなければならない。

$\frac{20}{n} = 1, 4$ となる。

$\frac{20}{n} = 1$ のとき、$n = 20$

$\frac{20}{n} = 4$ のとき、$n = 5$

よって、$n = 5, 20$

(116)

$a < \sqrt{30}$ である自然数 $a$ のうち、最も大きいものを求める。

$a^2 < 30$ を満たす最大の自然数 $a$ を求める。

$5^2 = 25 < 30$, $6^2 = 36 > 30$ より、$a = 5$

(117)

無理数は、分数で表せない数である。

$\sqrt{2}$ は無理数

$\sqrt{9} = 3$ は有理数

$\frac{5}{7}$ は有理数

$-0.6 = -\frac{6}{10}$ は有理数

$\pi$ は無理数

よって、$\sqrt{2}, \pi$

(118)

$x = 5 + \sqrt{3}, y = 5 - \sqrt{3}$ のとき、 $x^2 + 2xy + y^2$ の値を求める。

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

$x + y = (5 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 10$

$(x+y)^2 = 10^2 = 100$

3. 最終的な答え

(114) 1, 6, 9

(115) 5, 20

(116) 5

(117) $\sqrt{2}$, $\pi$

(118) 100