関数 $y = 9^x + 9^{-x} - 2(3^x + 3^{-x}) + 4$ について、以下の問いに答えます。 (1) $3^x + 3^{-x} = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (2) $y$ を $t$ で表します。 (3) $y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 9^x + 9^{-x} - 2(3^x + 3^{-x}) + 4$ について、以下の問いに答えます。

(1) $3^x + 3^{-x} = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(2) $y$ を $t$ で表します。

(3) $y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t$ のとりうる値の範囲を求める

$3^x > 0$ かつ $3^{-x} > 0$ なので、相加・相乗平均の関係より、

$3^x + 3^{-x} \geq 2 \sqrt{3^x \cdot 3^{-x}}$

$3^x + 3^{-x} \geq 2 \sqrt{1}$

$3^x + 3^{-x} \geq 2$

したがって、$t \geq 2$

(2) $y$ を $t$ で表す

$t = 3^x + 3^{-x}$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = (3^x + 3^{-x})^2$

$t^2 = (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2$

$t^2 = 9^x + 2 + 9^{-x}$

$9^x + 9^{-x} = t^2 - 2$

したがって、$y = 9^x + 9^{-x} - 2(3^x + 3^{-x}) + 4$ は

$y = (t^2 - 2) - 2t + 4$

$y = t^2 - 2t + 2$

(3) $y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める

$y = t^2 - 2t + 2$ を平方完成すると、

$y = (t - 1)^2 + 1$

$t \geq 2$ より、$t = 2$ のとき、$y$ は最小値をとる。

$t = 2$ のとき、$y = (2 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、$y$ の最小値は $2$

$t = 2$ のとき、$3^x + 3^{-x} = 2$

$3^x + \frac{1}{3^x} = 2$

両辺に $3^x$ をかけると、

$(3^x)^2 + 1 = 2 \cdot 3^x$

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x + 1 = 0$

$(3^x - 1)^2 = 0$

$3^x = 1$

$x = 0$

3. 最終的な答え

(1) $t \geq 2$

(2) $y = t^2 - 2t + 2$

(3) $y$ の最小値は $2$ であり、そのときの $x$ の値は $0$