因数定理を用いて、$x^3 - 3x^2 + 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

因数定理を用いて、$x^3 - 3x^2 + 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を利用するために、$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ を満たす $x$ の値を見つける。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$

となるので、$x = -1$ は与式を $0$ にする解の一つである。したがって、$x+1$ は $x^3 - 3x^2 + 4$ の因数となる。

次に、$x^3 - 3x^2 + 4$ を $x+1$ で割る。筆算または組み立て除法を行う。

ここでは筆算を行う。

```

x^2 - 4x + 4

x+1 | x^3 - 3x^2 + 0x + 4

x^3 + x^2

-----------

-4x^2 + 0x

-4x^2 - 4x

-----------

4x + 4

4x + 4

-----------

0

```

よって、$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4)$ となる。

さらに、$x^2 - 4x + 4$ を因数分解する。

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

したがって、

$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2$

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-2)^2$