実数 $a$ を変数とする2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a$ が与えられたとき、区間 $a \le x \le a+1$ における $f(x)$ の最小値を $g(a)$ とする。 (1) $g(a)$ を求める。 (2) $g(a)$ の最小値とそのときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を変数とする2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a$ が与えられたとき、区間 $a \le x \le a+1$ における $f(x)$ の最小値を $g(a)$ とする。

(1) $g(a)$ を求める。

(2) $g(a)$ の最小値とそのときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-2)^2 - 4 + a$

$f(x)$ の軸は $x = 2$ である。区間 $a \le x \le a+1$ における最小値を求めるために、軸と区間の位置関係を考える。

(i) $a+1 < 2$ すなわち $a < 1$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は減少するので、$x = a+1$ で最小値をとる。

$g(a) = f(a+1) = (a+1)^2 - 4(a+1) + a = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + a = a^2 - a - 3$

(ii) $a \le 2 \le a+1$ すなわち $1 \le a \le 2$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ に軸 $x=2$ が含まれるので、$x = 2$ で最小値をとる。

$g(a) = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + a = 4 - 8 + a = a - 4$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は増加するので、$x = a$ で最小値をとる。

$g(a) = f(a) = a^2 - 4a + a = a^2 - 3a$

したがって、

$g(a) = \begin{cases} a^2 - a - 3 & (a < 1) \\ a - 4 & (1 \le a \le 2) \\ a^2 - 3a & (a > 2) \end{cases}$

(2) $g(a)$ の最小値を求める。

(i) $a < 1$ のとき、$g(a) = a^2 - a - 3 = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 3 = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{13}{4}$

$a < 1$ の範囲では、$a = \frac{1}{2}$ のとき $g(a) = -\frac{13}{4}$ となる。

(ii) $1 \le a \le 2$ のとき、$g(a) = a - 4$

$g(a)$ は $a$ について単調増加なので、$a=1$ のとき $g(a) = 1 - 4 = -3$ で最小値をとる。

$a=2$ のとき $g(a) = 2 - 4 = -2$ である。

(iii) $a > 2$ のとき、$g(a) = a^2 - 3a = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

$a > 2$ の範囲では、$g(a)$ は $a$ について増加関数なので、$a$ が小さいほど $g(a)$ は小さい。

$a \to 2$ のとき $g(a) \to 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$ となる。

$a = 3/2$ は$a>2$を満たさないので、この範囲に極小値は存在しない。

$g(a)$ の最小値は $-\frac{13}{4}$ であり、そのときの $a$ の値は $\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $g(a) = \begin{cases} a^2 - a - 3 & (a < 1) \\ a - 4 & (1 \le a \le 2) \\ a^2 - 3a & (a > 2) \end{cases}$

(2) $g(a)$ の最小値は $-\frac{13}{4}$ であり、そのときの $a$ の値は $\frac{1}{2}$ である。