与えられた式を計算して簡略化します。問題の式は以下の通りです。 $\frac{2}{3 + \sqrt{5} - \sqrt{14}} + \frac{2}{3 + \sqrt{5} + \sqrt{14}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡略化します。問題の式は以下の通りです。

$\frac{2}{3 + \sqrt{5} - \sqrt{14}} + \frac{2}{3 + \sqrt{5} + \sqrt{14}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を一つの分数にまとめます。

$\frac{2}{3 + \sqrt{5} - \sqrt{14}} + \frac{2}{3 + \sqrt{5} + \sqrt{14}} = \frac{2(3 + \sqrt{5} + \sqrt{14}) + 2(3 + \sqrt{5} - \sqrt{14})}{(3 + \sqrt{5} - \sqrt{14})(3 + \sqrt{5} + \sqrt{14})}$

分子を展開して整理します。

$2(3 + \sqrt{5} + \sqrt{14}) + 2(3 + \sqrt{5} - \sqrt{14}) = 6 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{14} + 6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{14} = 12 + 4\sqrt{5}$

分母は $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ の形を利用します。ここで $A = 3 + \sqrt{5}$ および $B = \sqrt{14}$ です。

$(3 + \sqrt{5} - \sqrt{14})(3 + \sqrt{5} + \sqrt{14}) = (3 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{14})^2 = (9 + 6\sqrt{5} + 5) - 14 = 14 + 6\sqrt{5} - 14 = 6\sqrt{5}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{12 + 4\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{2(6 + 2\sqrt{5})}{6\sqrt{5}} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$

次に、分母を有理化します。

$\frac{6 + 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5} + 2(5)}{3(5)} = \frac{6\sqrt{5} + 10}{15} = \frac{2(3\sqrt{5} + 5)}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 + 3\sqrt{5}}{15/2}$

$\frac{10 + 6\sqrt{5}}{15}$

$\frac{10 + 6\sqrt{5}}{15} = \frac{2(5+3\sqrt{5})}{15}=\frac{10 + 6\sqrt{5}}{15}$

最終的な答えは$\frac{10 + 6\sqrt{5}}{15}$です。