2つの直線 $(a-1)x - 4y + 2 = 0$ と $x + (a-5)y + 3 = 0$ が、ある $a$ の値のときに垂直に交わり、また別の $a$ の値のときに平行となる。それぞれの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $(a-1)x - 4y + 2 = 0$ と $x + (a-5)y + 3 = 0$ が、ある $a$ の値のときに垂直に交わり、また別の $a$ の値のときに平行となる。それぞれの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの直線の式をそれぞれ $y = mx + c$ の形に変形する。

直線1: $(a-1)x - 4y + 2 = 0$ より、

$4y = (a-1)x + 2$

$y = \frac{a-1}{4}x + \frac{1}{2}$

したがって、直線1の傾きは $m_1 = \frac{a-1}{4}$ である。

直線2: $x + (a-5)y + 3 = 0$ より、

$(a-5)y = -x - 3$

$y = -\frac{1}{a-5}x - \frac{3}{a-5}$

したがって、直線2の傾きは $m_2 = -\frac{1}{a-5}$ である。

(1) 2つの直線が垂直に交わる条件は、$m_1 m_2 = -1$ である。よって、

$\frac{a-1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{a-5}\right) = -1$

$-\frac{a-1}{4(a-5)} = -1$

$a-1 = 4(a-5)$

$a-1 = 4a - 20$

$3a = 19$

$a = \frac{19}{3}$

(2) 2つの直線が平行となる条件は、$m_1 = m_2$ である。よって、

$\frac{a-1}{4} = -\frac{1}{a-5}$

$(a-1)(a-5) = -4$

$a^2 - 6a + 5 = -4$

$a^2 - 6a + 9 = 0$

$(a-3)^2 = 0$

$a = 3$

3. 最終的な答え

垂直に交わる時: $a = \frac{19}{3}$

平行となる時: $a = 3$