与えられた6x6行列 $M$ の行列式 $det(M)$ を求める問題です。 $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & -4 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 6 & 3 & -6 & 1 \\ -2 & -4 & 3 & 10 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & -6 & 1 & 11 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた6x6行列 $M$ の行列式 $det(M)$ を求める問題です。

$M = \begin{bmatrix}

1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\

1 & 2 & -1 & -4 & -1 & 0 \\

-2 & -1 & 6 & 3 & -6 & 1 \\

-2 & -4 & 3 & 10 & 1 & -4 \\

1 & -1 & -6 & 1 & 11 & 0 \\

-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 3

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

6x6行列の行列式を直接計算するのは非常に大変なので、行基本変形を用いて行列を簡略化してから計算します。

まず、1行目を基準にして、2行目以降の1列目の成分を0にします。

* 2行目 - 1行目:

$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$

* 3行目 + 2 * 1行目:

$R_3 \rightarrow R_3 + 2 R_1$

* 4行目 + 2 * 1行目:

$R_4 \rightarrow R_4 + 2 R_1$

* 5行目 - 1行目:

$R_5 \rightarrow R_5 - R_1$

* 6行目 + 1行目:

$R_6 \rightarrow R_6 + R_1$

これにより、行列は以下のように変わります。

$M' = \begin{bmatrix}

1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -2 & -2 & 1 \\

0 & 1 & 2 & -1 & -4 & -1 \\

0 & -2 & -1 & 6 & 3 & -6 \\

0 & -2 & -4 & 3 & 10 & 1 \\

0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 2

\end{bmatrix}$

次に、2行目を基準にして、3行目以降の2列目の成分を0にします。

* 3行目 - 2行目:

$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$

* 4行目 + 2 * 2行目:

$R_4 \rightarrow R_4 + 2 R_2$

* 5行目 + 2 * 2行目:

$R_5 \rightarrow R_5 + 2 R_2$

* 6行目 - 2行目:

$R_6 \rightarrow R_6 - R_2$

これにより、行列は以下のように変わります。

$M'' = \begin{bmatrix}

1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -2 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -4 \\

0 & 0 & -2 & -1 & 6 & 3 \\

0 & 0 & -2 & 1 & 3 & 1

\end{bmatrix}$

次に、3行目を基準にして、4行目以降の3列目の成分を0にします。

* 4行目 - 3行目:

$R_4 \rightarrow R_4 - R_3$

* 5行目 + 2 * 3行目:

$R_5 \rightarrow R_5 + 2 R_3$

* 6行目 + 2 * 3行目:

$R_6 \rightarrow R_6 + 2 R_3$

これにより、行列は以下のように変わります。

$M''' = \begin{bmatrix}

1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -2 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 3 & -1 & -3

\end{bmatrix}$

次に、4行目を基準にして、5行目以降の4列目の成分を0にします。

* 5行目 - 4行目:

$R_5 \rightarrow R_5 - R_4$

* 6行目 - 3 * 4行目:

$R_6 \rightarrow R_6 - 3 R_4$

これにより、行列は以下のように変わります。

$M'''' = \begin{bmatrix}

1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -2 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 3

\end{bmatrix}$

最後に、5行目を基準にして、6行目の5列目の成分を0にします。

* 6行目 + 4 * 5行目:

$R_6 \rightarrow R_6 + 4 R_5$

これにより、行列は以下のように変わります。

$M''''' = \begin{bmatrix}

1 & 1 & -2 & -2 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -2 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7

\end{bmatrix}$

この行列は上三角行列であるため、行列式は対角成分の積で計算できます。

$det(M) = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 7 = 7$

3. 最終的な答え

$det(M) = 7$