$t>4$ を満たすすべての $t$ について、不等式 $(\log_2 t)^2 - b\log_2 t + 2 > 0$ が成り立つような $b$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$t>4$ を満たすすべての $t$ について、不等式 $(\log_2 t)^2 - b\log_2 t + 2 > 0$ が成り立つような $b$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = \log_2 t$ と置く。$t>4$ より、$\log_2 t > \log_2 4 = 2$ となるので、$x > 2$。

与えられた不等式は、

$x^2 - bx + 2 > 0$

となる。この不等式が $x > 2$ を満たすすべての $x$ について成り立つような $b$ の範囲を求める。

関数 $f(x) = x^2 - bx + 2$ とおく。

$f(x) > 0$ が $x>2$ で常に成り立つ条件は、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $f(x)$ のグラフが $x軸$ と交わらない（常に正の値をとる）場合。

この場合、$f(x) = 0$ の判別式 $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = b^2 - 8 < 0$ となる。

よって、$-\sqrt{8} < b < \sqrt{8}$。すなわち、$-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2}$。

(ii) $f(x)$ のグラフが $x軸$ と交わる場合。

この場合、$f(2) \geq 0$ であれば、$x > 2$ で常に $f(x)>0$ が成り立つ可能性がある。

$f(2) = 2^2 - 2b + 2 = 6 - 2b \geq 0$

$6 \geq 2b$

$b \leq 3$

$f(x) = x^2 - bx + 2 = (x - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + 2$ より、軸は $x = \frac{b}{2}$。

軸が $x \leq 2$ である場合、$f(2) \geq 0$ ならば、条件を満たす。

$\frac{b}{2} \leq 2$ より、$b \leq 4$。

したがって、$b \leq 3$ のとき、軸 $x=\frac{b}{2} \leq \frac{3}{2} < 2$ であり、$f(2) = 6-2b > 0$ なので、$x > 2$ において、$f(x) > 0$ となる。

軸が $x > 2$ である場合、$f(x) > 0$ となるためには、$x^2 - bx + 2 = 0$ の小さい方の解が $2$ より小さければ良い。

$f(2) > 0$ ならば、$x > 2$ で $f(x) > 0$ が成り立つ。

$f(2) = 4-2b+2 = 6-2b > 0$ より、$b < 3$ となる。

(i)の場合と(ii)の場合を合わせて、$b < 2\sqrt{2}$ または $b \leq 3$ となる。

$-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2}$のとき、$b \approx 2.828$なので、$-2\sqrt{2} < b \leq 3$の場合には、すべての$x>2$で、$f(x) > 0$が成り立つ。

$b \leq 3$

3. 最終的な答え

$b \leq 3$