$t > 4$ を満たすすべての $t$ について、不等式 $(\log_2 t)^2 - b \log_2 t + 2 > 0$ が成り立つような $b$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$t > 4$ を満たすすべての $t$ について、不等式 $(\log_2 t)^2 - b \log_2 t + 2 > 0$ が成り立つような $b$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = \log_2 t$ とおく。$t > 4$ であるから、$x = \log_2 t > \log_2 4 = 2$ となる。

したがって、$x > 2$ において、不等式 $x^2 - bx + 2 > 0$ が成り立つような $b$ の範囲を求めればよい。

$f(x) = x^2 - bx + 2$ とおく。

$f(x) = (x - \frac{b}{2})^2 + 2 - \frac{b^2}{4}$

$f(x) > 0$ が $x > 2$ で常に成り立つための条件を考える。

(i) 放物線の軸が $x \leq 2$ の場合。つまり、$\frac{b}{2} \leq 2$ すなわち $b \leq 4$ の場合。

このとき、$x > 2$ で $f(x)$ は単調増加であるから、$f(2) > 0$ であればよい。

$f(2) = 2^2 - 2b + 2 = 6 - 2b > 0$

$2b < 6$

$b < 3$

$b \leq 4$ と $b < 3$ より、$b < 3$

(ii) 放物線の軸が $x > 2$ の場合。つまり、$\frac{b}{2} > 2$ すなわち $b > 4$ の場合。

このとき、$x > 2$ で $f(x) > 0$ となるためには、頂点の $y$ 座標が正であればよい。

$2 - \frac{b^2}{4} > 0$

$\frac{b^2}{4} < 2$

$b^2 < 8$

$-\sqrt{8} < b < \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2}$

$b > 4$ と $-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2}$ を満たす $b$ は存在しない。

したがって、(i) より、$b < 3$ が求める範囲である。

3. 最終的な答え

$b < 3$