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与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} $

代数学行列式線形代数余因子展開
2025/7/22

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。
∣3512−12609100712003250000−6∣ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算するにあたり、性質を利用します。
第1列に関して余因子展開を行うと、第3,4,5行の成分が全て0なので、以下のようになります。
∣3512−12609100712003250000−6∣=3⋅∣609107120325000−6∣−2⋅∣512−107120325000−6∣ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}
次に、それぞれの4x4行列について、第1列に関して余因子展開を行います。
∣609107120325000−6∣=6⋅∣71232500−6∣ \begin{vmatrix} 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}
∣512−107120325000−6∣=5⋅∣71232500−6∣ \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}
よって、元の行列式は以下のようになります。
3⋅6⋅∣71232500−6∣−2⋅5⋅∣71232500−6∣=(18−10)⋅∣71232500−6∣=8⋅∣71232500−6∣ 3 \cdot 6 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = (18 - 10) \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = 8 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}
最後に3x3行列の行列式を計算します。第3行に関して余因子展開を行います。
∣71232500−6∣=−6⋅∣7132∣=−6⋅(7⋅2−1⋅3)=−6⋅(14−3)=−6⋅11=−66 \begin{vmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = -6 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -6 \cdot (7 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = -6 \cdot (14 - 3) = -6 \cdot 11 = -66
したがって、元の行列式は
8⋅(−66)=−528 8 \cdot (-66) = -528

3. 最終的な答え

-528

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