実数 $a$, $b$, $x$ が与えられており、以下の条件を満たします。 * $a+b=3$ * $ab=1$ * $x-\frac{1}{x}=2$ また、$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ とします。 以下の値を求める必要があります。 (1) $a^2 + b^2$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ および $A+B$ (3) $\frac{B^2}{A} + \frac{A^2}{B}$

代数学式の計算代数方程式式の値分数式
2025/7/22

1. 問題の内容

実数 aa, bb, xx が与えられており、以下の条件を満たします。
* a+b=3a+b=3
* ab=1ab=1
* x1x=2x-\frac{1}{x}=2
また、A=axbxA = ax - \frac{b}{x}, B=bxaxB = bx - \frac{a}{x} とします。
以下の値を求める必要があります。
(1) a2+b2a^2 + b^2
(2) x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} および A+BA+B
(3) B2A+A2B\frac{B^2}{A} + \frac{A^2}{B}

2. 解き方の手順

(1) a2+b2a^2 + b^2 を求めます。
a2+b2=(a+b)22aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab を利用します。a+b=3a+b=3ab=1ab=1 を代入すると、
a2+b2=322(1)=92=7a^2 + b^2 = 3^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7
(2) x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} および A+BA+B を求めます。
まず、x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} を求めます。x1x=2x - \frac{1}{x} = 2 であるから、両辺を2乗すると、
(x1x)2=x22(x)(1x)+1x2=x22+1x2=22=4(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2^2 = 4
よって、x2+1x2=4+2=6x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6
次に、A+BA+B を求めます。
A=axbxA = ax - \frac{b}{x}, B=bxaxB = bx - \frac{a}{x} であるから、
A+B=(axbx)+(bxax)=ax+bxbxax=(a+b)xa+bx=(a+b)(x1x)A + B = (ax - \frac{b}{x}) + (bx - \frac{a}{x}) = ax + bx - \frac{b}{x} - \frac{a}{x} = (a+b)x - \frac{a+b}{x} = (a+b)(x - \frac{1}{x})
a+b=3a+b=3x1x=2x - \frac{1}{x}=2 を代入すると、
A+B=3(2)=6A+B = 3(2) = 6
(3) B2A+A2B\frac{B^2}{A} + \frac{A^2}{B} を求めます。
B2A+A2B=B3+A3AB\frac{B^2}{A} + \frac{A^2}{B} = \frac{B^3 + A^3}{AB}
A3+B3=(A+B)(A2AB+B2)=(A+B)((A+B)23AB)A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2) = (A+B)((A+B)^2 - 3AB)
AB=(axbx)(bxax)=abx2a2b2+abx2=ab(x2+1x2)(a2+b2)AB = (ax - \frac{b}{x})(bx - \frac{a}{x}) = abx^2 - a^2 - b^2 + \frac{ab}{x^2} = ab(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (a^2 + b^2)
ab=1ab=1x2+1x2=6x^2 + \frac{1}{x^2} = 6a2+b2=7a^2 + b^2 = 7 を代入すると、
AB=1(6)7=67=1AB = 1(6) - 7 = 6 - 7 = -1
A+B=6A+B = 6 であるから、
A3+B3=(6)((6)23(1))=6(36+3)=6(39)=234A^3 + B^3 = (6)((6)^2 - 3(-1)) = 6(36 + 3) = 6(39) = 234
したがって、
B2A+A2B=A3+B3AB=2341=234\frac{B^2}{A} + \frac{A^2}{B} = \frac{A^3 + B^3}{AB} = \frac{234}{-1} = -234

3. 最終的な答え

(1) a2+b2=7a^2 + b^2 = 7
(2) x2+1x2=6x^2 + \frac{1}{x^2} = 6, A+B=6A+B = 6
(3) B2A+A2B=234\frac{B^2}{A} + \frac{A^2}{B} = -234

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