与えられた関数の定義域に対する値域を求めます。 (1) $y = 2x^2$ ($1 \le x < 2$) (2) $y = 2x^2$ ($-1 \le x < 2$)

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域に対する値域を求めます。

(1) $y = 2x^2$ ($1 \le x < 2$)

(2) $y = 2x^2$ ($-1 \le x < 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加します。したがって、$x=1$ のとき、$y$ は最小値をとり、$x=2$ のとき、$y$ は上限値を持ちます。

$x = 1$ のとき、$y = 2 \cdot 1^2 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = 2 \cdot 2^2 = 8$

したがって、値域は $2 \le y < 8$ となります。

(2) $y = 2x^2$ のとき、$-1 \le x \le 0$ では $x$ が増加すると $y$ は減少します。また、$0 \le x < 2$ では $x$ が増加すると $y$ も増加します。したがって、$x=0$ のとき、$y$ は最小値をとり、$x = -1$ および $x=2$ で上限値を持ちます。

$x = -1$ のとき、$y = 2 \cdot (-1)^2 = 2$

$x = 0$ のとき、$y = 2 \cdot 0^2 = 0$

$x = 2$ のとき、$y = 2 \cdot 2^2 = 8$

したがって、値域は $0 \le y < 8$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2 \le y < 8$

(2) $0 \le y < 8$