$a-b = \sqrt{3}$、 $ab=1$ を満たす正の数 $a$、$b$ がある。 (1) $a^2+b^2$ の値と、$a+b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $x = a^2-\sqrt{7}b$、$y=b^2-\sqrt{7}a$ のとき、$x+y$ の値と、$x-y$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) (2)のとき、$\frac{x}{|y|} + \frac{y}{|x|}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a-b = \sqrt{3}$、 $ab=1$ を満たす正の数 $a$、$b$ がある。

(1) $a^2+b^2$ の値と、$a+b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $x = a^2-\sqrt{7}b$、$y=b^2-\sqrt{7}a$ のとき、$x+y$ の値と、$x-y$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) (2)のとき、$\frac{x}{|y|} + \frac{y}{|x|}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^2+b^2$ の値を求める。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ より、

$a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$

$a-b = \sqrt{3}$、$ab=1$ を代入して、

$a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(1) = 3+2 = 5$

次に、$a+b$ の値を求める。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2+b^2 + 2ab$

$a^2+b^2 = 5$、$ab=1$ を代入して、

$(a+b)^2 = 5 + 2(1) = 7$

$a+b>0$ より、

$a+b = \sqrt{7}$

(2)

$x+y = (a^2 - \sqrt{7}b) + (b^2 - \sqrt{7}a) = a^2 + b^2 - \sqrt{7}(a+b)$

$a^2+b^2 = 5$、$a+b = \sqrt{7}$ を代入して、

$x+y = 5 - \sqrt{7}(\sqrt{7}) = 5-7 = -2$

$x-y = (a^2 - \sqrt{7}b) - (b^2 - \sqrt{7}a) = a^2 - b^2 - \sqrt{7}(b-a)$

$= (a-b)(a+b) + \sqrt{7}(a-b)$

$a-b = \sqrt{3}$、$a+b = \sqrt{7}$ を代入して、

$x-y = (\sqrt{3})(\sqrt{7}) + \sqrt{7}(\sqrt{3}) = 2\sqrt{21}$

(3)

$x = a^2 - \sqrt{7}b$、$y=b^2 - \sqrt{7}a$ で、$a,b>0$ である。

$a-b=\sqrt{3}>0$ より $a>b$

$a>b>0$ なので、$a^2>b^2$ である。

また，$ab=1$より，$b = 1/a$

よって，$x = a^2 - \sqrt{7}/a$, $y = 1/a^2 - \sqrt{7}a$

$x-y = a^2-b^2 - \sqrt{7}(b-a) = (a-b)(a+b) + \sqrt{7}(a-b) = (a-b)(a+b+\sqrt{7})$

ここで、$a-b>0$、$a+b+\sqrt{7}>0$ より、$x>y$

$x-y = 2\sqrt{21}>0$ より、$x>y$

$x = a^2 - \sqrt{7}b = a^2 - \sqrt{7}/a = \frac{a^3 - \sqrt{7}}{a}$

$y = b^2 - \sqrt{7}a = \frac{1}{a^2} - \sqrt{7}a = \frac{1 - \sqrt{7}a^3}{a^2}$

$a^3 > \sqrt{7}$ の場合、$x>0$ かつ $y<0$

$a^3 < \sqrt{7}$ の場合、$x<0$ かつ $y>0$

$a-b = \sqrt{3}$ より、$a - 1/a = \sqrt{3}$

$a^2 - \sqrt{3}a - 1 = 0$

$a = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3+4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{7}}{2}$

$a > 0$ より、$a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{1.732 + 2.646}{2} \approx 2.189$

$a^3 \approx 10.45$

$\sqrt{7} \approx 2.646$

$a^3 > \sqrt{7}$ より、$x>0$ かつ $y<0$ となる。

$|x| = x$, $|y| = -y$ であるから、

$\frac{x}{|y|} + \frac{y}{|x|} = \frac{x}{-y} + \frac{y}{x} = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{(y-x)(y+x)}{xy}$

$\frac{x}{|y|} + \frac{y}{|x|} = \frac{(-2\sqrt{21})(-2)}{(a^2 - \sqrt{7}b)(b^2 - \sqrt{7}a)}$

$\frac{x}{|y|} + \frac{y}{|x|} = \frac{(y-x)(y+x)}{xy}=\frac{-(x-y)(x+y)}{xy} = \frac{-(2\sqrt{21})(-2)}{a^2b^2-\sqrt{7}a^3-\sqrt{7}b^3+7ab}=\frac{4\sqrt{21}}{1-\sqrt{7}(a^3+b^3)+7} = \frac{4\sqrt{21}}{8-\sqrt{7}(a^3+b^3)}$

$x>0$ かつ $y<0$なので、

$\frac{x}{|y|} + \frac{y}{|x|} = \frac{x}{-y} + \frac{y}{x} = \frac{-x^2-y^2}{xy}$

$x+y = -2$

$x-y = 2\sqrt{21}$

$x = \frac{-2+2\sqrt{21}}{2} = -1+\sqrt{21}$

$y = \frac{-2-2\sqrt{21}}{2} = -1-\sqrt{21}$

$xy = (-1+\sqrt{21})(-1-\sqrt{21}) = 1-21 = -20$

$\frac{-x^2-y^2}{xy} = \frac{-(x^2+y^2)}{xy}$

$x^2+y^2 = (-1+\sqrt{21})^2 + (-1-\sqrt{21})^2 = 1-2\sqrt{21}+21 + 1+2\sqrt{21}+21 = 44$

$\frac{-44}{-20} = \frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2 = 5$, $a+b = \sqrt{7}$

(2) $x+y = -2$, $x-y = 2\sqrt{21}$

(3) $\frac{11}{5}$