与えられた対数の値を、底の変換公式を用いて計算します。 (1) $\log_{16} 4$ (2) $\log_{4} \sqrt{2}$ (3) $\log_{9} \frac{1}{27}$

1. 問題の内容

与えられた対数の値を、底の変換公式を用いて計算します。

(1) $\log_{16} 4$

(2) $\log_{4} \sqrt{2}$

(3) $\log_{9} \frac{1}{27}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{16} 4$ の計算

底の変換公式を用いて、底を2に変換します。

$\log_{16} 4 = \frac{\log_{2} 4}{\log_{2} 16}$

$4 = 2^2$ なので、 $\log_{2} 4 = 2$

$16 = 2^4$ なので、 $\log_{2} 16 = 4$

したがって、

$\log_{16} 4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $\log_{4} \sqrt{2}$ の計算

底の変換公式を用いて、底を2に変換します。

$\log_{4} \sqrt{2} = \frac{\log_{2} \sqrt{2}}{\log_{2} 4}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ なので、 $\log_{2} \sqrt{2} = \frac{1}{2}$

$4 = 2^2$ なので、 $\log_{2} 4 = 2$

したがって、

$\log_{4} \sqrt{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

(3) $\log_{9} \frac{1}{27}$ の計算

底の変換公式を用いて、底を3に変換します。

$\log_{9} \frac{1}{27} = \frac{\log_{3} \frac{1}{27}}{\log_{3} 9}$

$\frac{1}{27} = 3^{-3}$ なので、 $\log_{3} \frac{1}{27} = -3$

$9 = 3^2$ なので、 $\log_{3} 9 = 2$

したがって、

$\log_{9} \frac{1}{27} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{16} 4 = \frac{1}{2}$

(2) $\log_{4} \sqrt{2} = \frac{1}{4}$

(3) $\log_{9} \frac{1}{27} = -\frac{3}{2}$