2つの2次関数 $y = x^2 - 2$ と $y = x^2 + 4x + 1$ があり、区間 $t \le x \le 0$ (tは負の定数) におけるそれぞれの最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (i) 関数①のグラフをx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動すると、関数②のグラフになるときの $p, q$ の値を求める。 (ii) $t = -2$ のとき、$M-m$ の値を求める。 (iii) $-2 < t < 0$ のとき、$M-m = 1$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = x^2 - 2$ と $y = x^2 + 4x + 1$ があり、区間 $t \le x \le 0$ (tは負の定数) におけるそれぞれの最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(i) 関数①のグラフをx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動すると、関数②のグラフになるときの $p, q$ の値を求める。

(ii) $t = -2$ のとき、$M-m$ の値を求める。

(iii) $-2 < t < 0$ のとき、$M-m = 1$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) 関数① $y = x^2 - 2$ を x軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動した式は、

$y - q = (x - p)^2 - 2$ となり、$y = (x-p)^2 - 2 + q$ となる。

これが関数② $y = x^2 + 4x + 1$ と一致するので、$y = x^2 - 2px + p^2 - 2 + q$ と比較する。

$x$ の係数より $-2p = 4$ なので $p = -2$。

定数項より $p^2 - 2 + q = 1$ なので $(-2)^2 - 2 + q = 1$、 $4 - 2 + q = 1$、 $2 + q = 1$ となり、$q = -1$。

(ii) $t = -2$ のとき、関数① $y = x^2 - 2$ について、区間 $-2 \le x \le 0$ で考える。

$x = 0$ のとき $y = -2$。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$。

軸 $x = 0$ が区間に含まれるため、$x = 0$ で最小値 $y = -2$ をとる。

よって、最大値 $M = 2$。

関数② $y = x^2 + 4x + 1$ について、平方完成すると $y = (x+2)^2 - 3$。

軸 $x = -2$ が区間 $-2 \le x \le 0$ に含まれるので、$x = -2$ で最小値 $y = -3$ をとる。

よって、最小値 $m = -3$。

$M - m = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$。

(iii) $-2 < t < 0$ のとき、関数① $y = x^2 - 2$ について、区間 $t \le x \le 0$ で考える。

$x = 0$ のとき $y = -2$。

$x = t$ のとき $y = t^2 - 2$。

軸 $x = 0$ が区間に含まれるため、$x = 0$ で最小値 $y = -2$ をとる。

$t < 0$ であるから、$t^2 > 0$ であり、$t^2 - 2 > -2$ となる場合がある。

最大値は、$M = t^2 - 2$。

関数② $y = (x+2)^2 - 3$ について、区間 $t \le x \le 0$ で考える。

軸 $x = -2$ は区間外である。

$x = 0$ のとき $y = 1$。

$x = t$ のとき $y = t^2 + 4t + 1$。

最小値は、$m = t^2 + 4t + 1$。

$M - m = (t^2 - 2) - (t^2 + 4t + 1) = t^2 - 2 - t^2 - 4t - 1 = -4t - 3$。

$M - m = 1$ より $-4t - 3 = 1$ なので $-4t = 4$、 $t = -1$。

$-2 < t < 0$ を満たすので、$t = -1$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(i) $p = -2, q = -1$

(ii) $M - m = 5$

(iii) $t = -1$