多項式 $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 2$ が与えられている。 (1) $p(0)$ の値を求めよ。 (2) $p(-1)$ の値を求めよ。 (3) $p(x)$ を $x-1$ で割った余りを求めよ。

代数学多項式剰余の定理関数の評価
2025/7/22

1. 問題の内容

多項式 p(x)=x3+5x2+3x+2p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 2 が与えられている。
(1) p(0)p(0) の値を求めよ。
(2) p(1)p(-1) の値を求めよ。
(3) p(x)p(x)x1x-1 で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) p(0)p(0) を求めるには、p(x)p(x) の式に x=0x=0 を代入する。
p(0)=03+5(0)2+3(0)+2=0+0+0+2=2p(0) = 0^3 + 5(0)^2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
(2) p(1)p(-1) を求めるには、p(x)p(x) の式に x=1x=-1 を代入する。
p(1)=(1)3+5(1)2+3(1)+2=1+53+2=3p(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 5 - 3 + 2 = 3
(3) p(x)p(x)x1x-1 で割った余りを求めるには、剰余の定理を用いる。剰余の定理によれば、p(x)p(x)xax-a で割った余りは p(a)p(a) に等しい。したがって、p(x)p(x)x1x-1 で割った余りは p(1)p(1) に等しい。
p(1)=(1)3+5(1)2+3(1)+2=1+5+3+2=11p(1) = (1)^3 + 5(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 + 5 + 3 + 2 = 11

3. 最終的な答え

(1) p(0)=2p(0) = 2
(2) p(1)=3p(-1) = 3
(3) p(x)p(x)x1x-1 で割った余りは 1111

「代数学」の関連問題

問題7:次の2次関数のグラフとx軸との共有点のx座標を求めます。 (1) $y = x^2 - 2x - 3$ (2) $y = x^2 + 8x + 15$ 問題9:2次関数 $y = x^2 + ...

二次関数二次方程式グラフx軸との共有点解の公式因数分解
2025/7/22

$e^x + e^{-x} = f(0)$ という式が与えられており、$f(0) = 2$ であるとき、$x$の値を求める問題です。

指数関数方程式代数因数分解
2025/7/22

与えられた画像に記載されている数学の問題を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、2次方程式の定義、解き方(因数分解、解の公式)、および具体的な2次方程式を解く問題です。

二次方程式因数分解解の公式
2025/7/22

画像の問題のうち、以下の問題を解きます。 * 1. 次の空欄に当てはまる言葉を書き入れなさい。 $x^2 + 3x - 10 = 0$ のように、$x$ の \_\_\_\_\_\_ で表...

二次方程式因数分解解の公式
2025/7/22

問題は、方程式 $2 + \frac{1}{x^3} = 0$ を解いて、$x$ の値を求めることです。

方程式3次方程式代数有理化累乗根
2025/7/22

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & -6 & -4 \end{bmatrix}$ の固有値が2と-1であることを示し、$\til...

線形代数固有値固有空間行列
2025/7/22

与えられた4つの行列 $A$ に対して、それぞれのジョルダン標準形を求める問題です。

行列固有値固有ベクトルジョルダン標準形
2025/7/22

与えられた行列Aの最小多項式を求めます。問題は2つあります。 (1) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 ...

線形代数行列固有値最小多項式
2025/7/22

線形写像 $f = L_A : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^5$ を $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ で定義する。ここで、$A = \begin...

線形代数線形写像Im fKer f基底行列
2025/7/22

線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^5$ が $f(v) = Av$ で定義される。ここで、行列 $A$ は $$ A = \begin{bmat...

線形代数線形写像基底行列
2025/7/22