(1) 実数 $x$ に関する条件「$x < -1$ または $2 < x$」の否定を求める。 (2) $x$ は実数とする。命題「$|x-2| \le 1$ ならば $|1-x| \le 2$ である。」の逆と対偶を求め、命題の真偽を判定する。 (3) 実数 $x, y$ に関する条件 $p: 「x > 2$ かつ $y > 2」$, $q: 「x+y > 4$ かつ $xy > 4」$ に対して、命題「$p$ ならば $q$」と命題「$q$ ならば $p$」の真偽を調べ、$p$ が $q$ であるための必要条件、十分条件を判定する。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x$ に関する条件「$x < -1$ または $2 < x$」の否定を求める。

(2) $x$ は実数とする。命題「$|x-2| \le 1$ ならば $|1-x| \le 2$ である。」の逆と対偶を求め、命題の真偽を判定する。

(3) 実数 $x, y$ に関する条件 $p: 「x > 2$ かつ $y > 2」$, $q: 「x+y > 4$ かつ $xy > 4」$ に対して、命題「$p$ ならば $q$」と命題「$q$ ならば $p$」の真偽を調べ、$p$ が $q$ であるための必要条件、十分条件を判定する。

2. 解き方の手順

(1) 条件「$x < -1$ または $2 < x$」の否定は、「$x < -1$ でない」かつ「$2 < x$ でない」である。これは「$x \ge -1$」かつ「$x \le 2$」と同値なので、「$-1 \le x \le 2$」となる。

(2) 命題「$|x-2| \le 1$ ならば $|1-x| \le 2$ である。」の逆は、「$|1-x| \le 2$ ならば $|x-2| \le 1$ である。」となる。

命題「$|x-2| \le 1$ ならば $|1-x| \le 2$ である。」の対偶は、「$|1-x| > 2$ ならば $|x-2| > 1$ である。」となる。

$|x-2| \le 1$ は $-1 \le x-2 \le 1$ より $1 \le x \le 3$ と同値である。

$|1-x| \le 2$ は $-2 \le 1-x \le 2$ より $-3 \le -x \le 1$ 、すなわち $-1 \le x \le 3$ と同値である。

よって、 $|x-2| \le 1$ ならば $|1-x| \le 2$ は真である。

(3) $p: 「x > 2$ かつ $y > 2」$, $q: 「x+y > 4$ かつ $xy > 4」$ とする。

$x > 2$ かつ $y > 2$ ならば、$x+y > 2+2 = 4$ かつ $xy > 2 \times 2 = 4$ であるので、「$p$ ならば $q$」は真である。

$x+y > 4$ かつ $xy > 4$ であっても、$x > 2$ かつ $y > 2$ とは限らない。例えば、$x = 1, y = 5$ とすると、$x+y = 6 > 4$ かつ $xy = 5 > 4$ であるが、$x = 1 < 2$ である。よって、「$q$ ならば $p$」は偽である。

したがって、$p$ は $q$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) ④

(2) 逆：⓪, 対偶：③, 真偽：⓪

(3) コ：⓪, サ：①, シ：①