問題は2つのパートに分かれています。 パート1では、与えられた対数の大小を比較します。具体的には、 (1) $\log_2 10$, $\log_3 10$, $\log_5 10$ (2) $\log_2 5$, $\log_4 24$, $\log_8 128$ (3) $\log_2 3$, $\log_9 24$, $\frac{3}{2}$ パート2では、与えられた数の大小を比較します。具体的には、 (1) $\sqrt{2}$, $\sqrt[4]{5}$, $\sqrt[3]{3}$ (2) $2^{30}$, $3^{20}$, $6^{10}$

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1では、与えられた対数の大小を比較します。具体的には、

(1) $\log_2 10$, $\log_3 10$, $\log_5 10$

(2) $\log_2 5$, $\log_4 24$, $\log_8 128$

(3) $\log_2 3$, $\log_9 24$, $\frac{3}{2}$

パート2では、与えられた数の大小を比較します。具体的には、

(1) $\sqrt{2}$, $\sqrt[4]{5}$, $\sqrt[3]{3}$

(2) $2^{30}$, $3^{20}$, $6^{10}$

2. 解き方の手順

パート1: 対数の大小比較

(1) $\log_2 10$, $\log_3 10$, $\log_5 10$

底が1より大きい対数関数では、真数が一定の場合、底が大きいほど値は小さくなります。したがって、$\log_2 10 > \log_3 10 > \log_5 10$となります。

(2) $\log_2 5$, $\log_4 24$, $\log_8 128$

まず、$\log_8 128$を計算します。 $8^{7/3} = (2^3)^{7/3} = 2^7 = 128$ なので、$\log_8 128 = \frac{7}{3}$です。

次に、$\log_2 5$と$\log_4 24$を比較します。$\log_4 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 4} = \frac{\log_2 24}{2}$となります。

$\log_2 5$と$\frac{\log_2 24}{2}$を比較するために、それぞれ2倍します。$2\log_2 5 = \log_2 25$となり、$\log_2 25 > \log_2 24$なので、$2\log_2 5 > \log_2 24$、つまり$\log_2 5 > \log_4 24$です。

$\log_2 5$と$\frac{7}{3}$を比較します。$\log_2 5 \approx 2.32$, $\frac{7}{3} \approx 2.33$なので、$\log_2 5 < \frac{7}{3}$です。

$\log_4 24$と$\frac{7}{3}$を比較します。$\log_4 24 \approx 2.29 < \frac{7}{3}$です。

したがって、$\log_4 24 < \log_2 5 < \log_8 128$となります。

(3) $\log_2 3$, $\log_9 24$, $\frac{3}{2}$

$\log_2 3 \approx 1.58$

$\log_9 24 = \frac{\log_3 24}{\log_3 9} = \frac{\log_3 24}{2}$.

$3^3 = 27$なので、$\log_3 24 < 3$です。したがって、$\frac{\log_3 24}{2} < \frac{3}{2}$です。

$\log_9 24 < \frac{3}{2} = 1.5$. $\log_2 3 > 1.5$.

したがって、$\log_9 24 < \frac{3}{2} < \log_2 3$ が成り立ちます。

パート2: 指数の大小比較

(1) $\sqrt{2}$, $\sqrt[4]{5}$, $\sqrt[3]{3}$

それぞれを12乗します。

$(\sqrt{2})^{12} = 2^6 = 64$

$(\sqrt[4]{5})^{12} = 5^3 = 125$

$(\sqrt[3]{3})^{12} = 3^4 = 81$

したがって、$\sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5}$となります。

(2) $2^{30}$, $3^{20}$, $6^{10}$

$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$

$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$

$6^{10}$

したがって、$6^{10} < 8^{10} < 9^{10}$、つまり、$6^{10} < 2^{30} < 3^{20}$となります。

3. 最終的な答え

パート1:

(1) $\log_2 10 > \log_3 10 > \log_5 10$

(2) $\log_4 24 < \log_2 5 < \log_8 128$

(3) $\log_9 24 < \frac{3}{2} < \log_2 3$

パート2:

(1) $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5}$

(2) $6^{10} < 2^{30} < 3^{20}$