問4では、多項式 $p(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ について、(1) $p(1)$ の値を求め、(2) $p(x)$ を因数分解し、(3) $p(x)=0$ となる $x$ の値を求める問題です。 問5では、(1) $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$ と (2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ の方程式を解く問題です。

1. 問題の内容

問4では、多項式 $p(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ について、(1) $p(1)$ の値を求め、(2) $p(x)$ を因数分解し、(3) $p(x)=0$ となる $x$ の値を求める問題です。

問5では、(1) $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$ と (2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ の方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

【問4】

(1) $p(1)$を求める。

$p(x)$ に $x=1$ を代入します。

$p(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - (1) - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$

(2) $p(x)$を因数分解する。

$p(1)=0$ より、$p(x)$ は $(x-1)$ を因数に持ちます。組み立て除法または筆算で、$p(x)$ を $(x-1)$ で割ります。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x-1)(x^2 + 3x + 2)$

さらに、$x^2 + 3x + 2$ を因数分解します。

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

したがって、$p(x) = (x-1)(x+1)(x+2)$

(3) $p(x)=0$となる$x$の値を求める。

$p(x) = (x-1)(x+1)(x+2) = 0$ より、$x-1=0$ または $x+1=0$ または $x+2=0$

したがって、$x=1, -1, -2$

【問5】

(1) $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$

$x$ でくくると、$x(x^2 - 5x + 6) = 0$

$x^2 - 5x + 6$ を因数分解すると、$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

したがって、$x(x-2)(x-3) = 0$ より、$x=0, 2, 3$

(2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

$X = x^2$ とおくと、$X^2 - 5X + 4 = 0$

$(X-1)(X-4) = 0$

$X = 1, 4$

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

$x^2 = 4$ より、$x = \pm 2$

したがって、$x = 1, -1, 2, -2$

3. 最終的な答え

【問4】

(1) $p(1) = 0$

(2) $p(x) = (x-1)(x+1)(x+2)$

(3) $x = 1, -1, -2$

【問5】

(1) $x = 0, 2, 3$

(2) $x = 1, -1, 2, -2$