2つの放物線 $y = 2x^2 - (k+6)x + k^2 - 4$ と $y = x^2 - 5x + 1$ がちょうど1つの共有点を持つような定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 - (k+6)x + k^2 - 4$ と $y = x^2 - 5x + 1$ がちょうど1つの共有点を持つような定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2つの放物線の共有点を求めるには、2つの式を連立させます。

$2x^2 - (k+6)x + k^2 - 4 = x^2 - 5x + 1$

整理して、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 - (k+6)x + 5x + k^2 - 4 - 1 = 0$

$x^2 - (k+1)x + k^2 - 5 = 0$

2つの放物線がちょうど1つの共有点を持つためには、この二次方程式が重解を持つ必要があります。つまり、判別式 $D$ が0になる必要があります。

$D = (k+1)^2 - 4(k^2 - 5) = 0$

$k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 20 = 0$

$-3k^2 + 2k + 21 = 0$

$3k^2 - 2k - 21 = 0$

この $k$ の二次方程式を解きます。因数分解または解の公式を使います。

$(3k+7)(k-3)=0$

よって、$k = 3, -\frac{7}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$k = 3, -\frac{7}{3}$