縦 $5x$ cm、横 $2x$ cmの長方形の紙が8枚あり、図のように並べたときの、色をつけた部分の面積の差を求める問題です。また、正方形と半円を組み合わせた図形の、色をつけた部分の面積を $a$ を使った式で表す問題です。

1. 問題の内容

縦 $5x$ cm、横 $2x$ cmの長方形の紙が8枚あり、図のように並べたときの、色をつけた部分の面積の差を求める問題です。また、正方形と半円を組み合わせた図形の、色をつけた部分の面積を $a$ を使った式で表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、図アの色をつけた部分の面積を求めます。長方形の面積は $5x \times 2x = 10x^2$ で、それが6枚あるので、面積は $6 \times 10x^2 = 60x^2$ cm$^2$ です。また、周囲の長方形は、$5x \times 2x = 10x^2$であり、４つあるので、$4 \times 10x^2 = 40x^2$。よって合計は$60x^2 + 4 \times 10x^2 = 100x^2$ cm$^2$。

ただし、重なる部分があるのでそれを計算します。重なる部分は縦５ｘ、横２ｘの長方形で、それが４つあるので面積は$4 \times 5x \times 2x = 40x^2$

よって、$100x^2 - 40x^2= 60x^2$

次に、図イの色をつけた部分の面積を求めます。長方形の面積は $5x \times 2x = 10x^2$ で、それが6枚あるので、面積は $6 \times 10x^2 = 60x^2$ cm$^2$ です。また、周囲の長方形は、$5x \times 2x = 10x^2$であり、４つあるので、$4 \times 10x^2 = 40x^2$。よって合計は$60x^2 + 4 \times 10x^2 = 100x^2$ cm$^2$。

ただし、重なる部分があるのでそれを計算します。重なる部分は縦５ｘ、横２ｘの長方形で、それが４つあるので面積は$4 \times 5x \times 2x = 40x^2$

よって、$100x^2 - 40x^2= 60x^2$

(2) 図アの色をつけた部分の面積は、長方形の面積から白い部分の面積を引いて求めます。長方形の面積は $(5x+5x+5x+5x) \times (2x+2x+2x) = 20x \times 6x = 120x^2$ cm$^2$です。

白い長方形は、縦5x、横2xの長方形４つと、縦2x,横2xの長方形が1つ。なので$4 \times 5x \times 2x + 2x \times 2x= 40x^2+4x^2 = 44x^2$。

よって、色のついた部分は、$120x^2-44x^2=76x^2$

図イの色をつけた部分の面積は、$5x \times 12x + 2x \times 2x = 60x^2+4x^2= 64x^2$ cm$^2$です。

(3) 図アと図イの面積の差を計算します。$76x^2 - 64x^2 = 12x^2$ cm$^2$です。

(4) 次に、正方形と半円を組み合わせた図形の、色をつけた部分の面積を求めます。正方形の一辺は $a$ なので、正方形の面積は $a^2$ です。半円の半径は $a$ なので、半円の面積は $\frac{1}{2} \pi a^2$ です。色のついた部分は、正方形の面積と半円の面積の合計から、直角二等辺三角形の面積を引いたものです。直角二等辺三角形の面積は $\frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2$ です。したがって、色のついた部分の面積は $a^2 + \frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} \pi a^2 = \frac{1}{2} (1+\pi) a^2$ m$^2$です。

3. 最終的な答え

図イの方が $12x^2$ cm$^2$ 大きい。

色のついた部分の面積は $\frac{1+\pi}{2} a^2$ m$^2$