直線 $y = \frac{1}{3}x + 2$ と直線 $y = -x + 6$ が点Pで交わっている。 直線 $y = \frac{1}{3}x + 2$ とy軸との交点をA、直線 $y = -x + 6$ とx軸との交点をB、原点をOとするとき、四角形PAOBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{3}x + 2$ と直線 $y = -x + 6$ が点Pで交わっている。

直線 $y = \frac{1}{3}x + 2$ とy軸との交点をA、直線 $y = -x + 6$ とx軸との交点をB、原点をOとするとき、四角形PAOBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Aの座標を求める。点Aは直線 $y = \frac{1}{3}x + 2$ とy軸の交点なので、x = 0を代入する。

$y = \frac{1}{3}(0) + 2 = 2$

よって、点Aの座標は(0, 2)である。

次に、点Bの座標を求める。点Bは直線 $y = -x + 6$ とx軸の交点なので、y = 0を代入する。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、点Bの座標は(6, 0)である。

次に、点Pの座標を求める。点Pは2直線の交点なので、連立方程式を解く。

$y = \frac{1}{3}x + 2$

$y = -x + 6$

$\frac{1}{3}x + 2 = -x + 6$

$\frac{4}{3}x = 4$

$x = 3$

$y = -3 + 6 = 3$

よって、点Pの座標は(3, 3)である。

四角形PAOBの面積は、三角形POAの面積と三角形POBの面積の和で求められる。

三角形POAの面積は、底辺OA = 2、高さは点Pのx座標 = 3なので、

$\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$

三角形POBの面積は、底辺OB = 6、高さは点Pのy座標 = 3なので、

$\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

四角形PAOBの面積は、3 + 9 = 12

3. 最終的な答え

12