三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $c = \sqrt{3} + 1$, $B = 45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角$A$, $C$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $c = \sqrt{3} + 1$, $B = 45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角$A$, $C$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$b$を求める。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \cos 45^\circ$

$b^2 = 2 + (3 + 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$b^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3} + 1)$

$b^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2$

$b^2 = 4$

$b = 2$

次に、正弦定理を用いて角$A$を求める。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$

$\sin A = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 30^\circ$または$A = 150^\circ$

$A = 150^\circ$の場合、$A + B = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ > 180^\circ$となるため不適。

よって、$A = 30^\circ$

最後に、角$C$を求める。

$A + B + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$b = 2$

$A = 30^\circ$

$C = 105^\circ$