三角形ABCにおいて、$sin A : sin B : sin C = 8 : 7 : 13$ が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$sin A : sin B : sin C = 8 : 7 : 13$ が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a : b : c = sin A : sin B : sin C$ である。したがって、辺の比は $a : b : c = 8 : 7 : 13$ となる。

$a=8k$, $b=7k$, $c=13k$ (k>0) とおくことができる。

最大の角は、最大の辺の対角であるから、$\angle C$ が最大となる。

余弦定理より、

$cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$cos C = \frac{(8k)^2 + (7k)^2 - (13k)^2}{2(8k)(7k)}$

$cos C = \frac{64k^2 + 49k^2 - 169k^2}{112k^2}$

$cos C = \frac{113k^2 - 169k^2}{112k^2}$

$cos C = \frac{-56k^2}{112k^2}$

$cos C = -\frac{1}{2}$

$0^\circ < C < 180^\circ$ であるから、$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

120°