半径1の2つの扇形 $O_1AA'$ と $O_2BB'$ がある。中心角は $360^\circ - \theta$ であり、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ である。$O_1, A, B, O_2$ はこの順に一直線上にある。$A'$ と $B'$ は直線 $\ell$ を挟んで反対側にあるとする。扇形 $O_1AA'$ を直線 $\ell$ に沿って $O_1$ と $O_2$ が近づくように平行移動する。扇形 $O_1AA'$ の弧 $AA'$ と線分 $O_2B'$ (端点を含む) が初めて共有点を持つときの線分 $O_1O_2$ の長さを $\sin \theta$ と $\cos \theta$ を用いて表す問題である。

1. 問題の内容

半径1の2つの扇形 $O_1AA'$ と $O_2BB'$ がある。中心角は $360^\circ - \theta$ であり、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ である。$O_1, A, B, O_2$ はこの順に一直線上にある。$A'$ と $B'$ は直線 $\ell$ を挟んで反対側にあるとする。扇形 $O_1AA'$ を直線 $\ell$ に沿って $O_1$ と $O_2$ が近づくように平行移動する。扇形 $O_1AA'$ の弧 $AA'$ と線分 $O_2B'$ (端点を含む) が初めて共有点を持つときの線分 $O_1O_2$ の長さを $\sin \theta$ と $\cos \theta$ を用いて表す問題である。

2. 解き方の手順

扇形 $O_1AA'$ を平行移動することを考える。$O_1$ と $O_2$ の距離が最小になるのは、弧 $AA'$ の端点 $A'$ が線分 $O_2B'$ 上に来るときである。

$O_1A = O_1A' = 1$, $O_2B = O_2B' = 1$ である。また、$O_1$, $A$, $B$, $O_2$ は一直線上にあるので、$O_1O_2 = O_1A + AB + BO_2 = 1 + AB + 1 = 2 + AB$ である。

$\angle AO_1A' = \theta$ である。扇形 $O_1AA'$ を平行移動したとき、弧 $AA'$ と線分 $O_2B'$ が初めて共有点を持つのは、$A'$ が $O_2B'$ 上に乗ったときである。このとき、$O_1$ から $O_2B'$ までの距離は、$A'$ から $O_2B'$ までの距離に等しくなる。

$\angle O_2BO_2'=0$

$\angle O_1 A O_2= 180- 2*\theta$

また、$AB = O_1O_2 - 2$　である。

平行移動して $A'B' = AB$ である。

この時，$O_1O_2 = 2 + AB = 2+A'B'$.

$O_1$ と $O_2$ 間の距離を $d$ とすると、$d = O_1O_2$ となる。$A'$ が $O_2B'$ 上に来るとき、$O_1O_2B'$ は一直線上に並ぶ。よって、$d = O_1O_2=2+AB$となる。

ここで、$O_1A = 1$, $O_2B = 1$。

3. 最終的な答え

$O_1O_2 = 1 + \sin \theta$