問題は、与えられた等式が成り立つとき、三角形ABCがどのような三角形になるかを問うものです。具体的には、以下の2つの場合について答える必要があります。 (1) $a \sin A + b \sin B = c \sin C$ (2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$

1. 問題の内容

問題は、与えられた等式が成り立つとき、三角形ABCがどのような三角形になるかを問うものです。具体的には、以下の2つの場合について答える必要があります。

(1) $a \sin A + b \sin B = c \sin C$

(2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$

2. 解き方の手順

(1) $a \sin A + b \sin B = c \sin C$ の場合

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは三角形ABCの外接円の半径)が成り立ちます。

したがって、$a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$ となります。

これらを元の式に代入すると、

$2R\sin A \sin A + 2R\sin B \sin B = 2R\sin C \sin C$

$\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C$

正弦定理より、$a^2 + b^2 = c^2$

これはピタゴラスの定理なので、角Cが直角の直角三角形です。

(2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$ の場合

余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

これらを元の式に代入すると、

$a \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} + b \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} = c \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

両辺に$2abc$を掛けると、

$a^2(b^2+c^2-a^2) + b^2(c^2+a^2-b^2) = c^2(a^2+b^2-c^2)$

$a^2b^2+a^2c^2-a^4 + b^2c^2+a^2b^2-b^4 = c^2a^2+c^2b^2-c^4$

$2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -c^4$

$c^4 = a^4 + b^4 - 2a^2b^2$

$c^4 = (a^2-b^2)^2$

$c^2 = a^2 - b^2$ または $c^2 = b^2 - a^2$

$a^2 = b^2+c^2$ または $b^2 = a^2+c^2$

したがって、角Aまたは角Bが直角の直角三角形です。

3. 最終的な答え

(1) 角Cが直角の直角三角形

(2) 角Aまたは角Bが直角の直角三角形