三角形ABCにおいて、$\angle CAB = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$とする。 (1) 三角形ABCの外接円の半径が$2\sqrt{2}$のとき、辺ABの長さを求める。 (2) 辺AC上にAD=3となるように点Dをとる。AB= (1) で求めた値であるとき、BDの長さと三角形ABDの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle CAB = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$とする。

(1) 三角形ABCの外接円の半径が$2\sqrt{2}$のとき、辺ABの長さを求める。

(2) 辺AC上にAD=3となるように点Dをとる。AB= (1) で求めた値であるとき、BDの長さと三角形ABDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle BCA}} = 2R$

ここで、$R = 2\sqrt{2}$、$\angle BCA = 45^\circ$なので、

$\frac{AB}{\sin{45^\circ}} = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$より、

$AB = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$

(2) $\angle ABC = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 75^\circ$

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R = 4\sqrt{2}$

$AC = 4\sqrt{2}\sin{75^\circ}$

$\sin{75^\circ} = \sin{(45^\circ + 30^\circ)} = \sin{45^\circ}\cos{30^\circ} + \cos{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$AC = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{12} + \sqrt{4} = 2\sqrt{3} + 2$

$CD = AC - AD = 2\sqrt{3} + 2 - 3 = 2\sqrt{3} - 1$

三角形ABDにおいて、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos{\angle BAC}$

$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos{60^\circ} = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BD = \sqrt{13}$

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \sin{60^\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 63: 4

(2) 64: 1, 65: 3

66: 3, 67: 3

最終的な答え:

(1) $AB = 4$

(2) $BD = \sqrt{13}$, $\triangle ABD = 3\sqrt{3}$