三角形ABCにおいて、$AB=9$, $AC=6$である。$\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方の点をEとする。 (1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表せ。 (2) 線分$AE$の長さを求めよ。また、線分$AD$と線分$CE$の交点を$F$とするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表せ。 (3) (2)のとき、線分$BF$と線分$DE$の交点を$G$とする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表せ。また、$\triangle BCE$の面積を$S$とするとき、$\triangle EGF$の面積を$S$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=9$, $AC=6$である。$\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方の点をEとする。

(1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表せ。

(2) 線分$AE$の長さを求めよ。また、線分$AD$と線分$CE$の交点を$F$とするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表せ。

(3) (2)のとき、線分$BF$と線分$DE$の交点を$G$とする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表せ。また、$\triangle BCE$の面積を$S$とするとき、$\triangle EGF$の面積を$S$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 9:6 = 3:2$

(2) 方べきの定理より、$AE \cdot AB = AC^2$だから、$AE \cdot 9 = 6^2=36$。よって、$AE = 36/9 = 4$

次に、メネラウスの定理を$\triangle ABD$と直線$CE$に適用すると、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{4}{9-4} \cdot \frac{3+2}{2} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$2 \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{DF}{FA} = \frac{1}{2}$

よって、$AF:FD = 2:1$

(3) メネラウスの定理を$\triangle ADE$と直線$BF$に適用すると、

$\frac{AB}{BE} \cdot \frac{EG}{GD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{9}{9-4} \cdot \frac{EG}{GD} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{9}{5} \cdot \frac{EG}{GD} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{EG}{GD} = \frac{10}{9}$

チェバの定理を$\triangle ABC$に適用すると、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CI}{IA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CI}{IA} = 1$

$\frac{CI}{IA} = \frac{5}{6}$

次に、メネラウスの定理を$\triangle BCD$と直線$DE$に適用すると、

$\frac{BE}{EA} \cdot \frac{AI}{IC} \cdot \frac{CG}{GB} = 1$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{CG}{GB} = 1$

$\frac{CG}{GB} = \frac{2}{3}$

$\frac{BG}{GC} = \frac{3}{2}$

また、メネラウスの定理を$\triangle BCE$と直線$AD$に適用すると、

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{EF}{FC} = \frac{2}{3}$

ここで、メネラウスの定理を$\triangle CDE$と直線$BF$に適用すると、

$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DG}{GE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{EF}{FC} = \frac{2}{3}$

チェバの定理より、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{EA}{AB} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{4}{9} = 1$

$\frac{CF}{FE} = \frac{3}{2}$

$\triangle BCE$においてチェバの定理から、

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{FA}{AD} \cdot \frac{DE}{EC} = 1$

$AF:FD = 2:1$より$AD = AF + FD$, $\frac{FA}{AD} = \frac{2}{3}$

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{FA}{AD} \cdot \frac{DE}{EC} = 1$

ここで、セバート三角形の面積比を考える。

$\frac{\triangle EGF}{\triangle BCE} = \frac{EG}{ED} \cdot \frac{DF}{DA} \cdot \frac{FB}{BC}$

$\frac{EG}{ED} = \frac{10}{19}$

$\frac{DF}{DA} = \frac{1}{3}$

$BG:GF=?$

$BG:GF = 3:2$

$BG:BF = 3:5$, $\frac{BG}{BF} = \frac{3}{5}$

面積比は、$\frac{\triangle EFB}{\triangle CEB} = \frac{EF}{EC}=\frac{2}{5}$より、$3:2$

$BG:GF = 4:1$

$\triangle EGF = S \cdot \frac{10}{19} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{57}S$

3. 最終的な答え

(1) $BD:DC = 3:2$

(2) $AE = 4$, $AF:FD = 2:1$

(3) $BG:GF = 4:1$, $\triangle EGF = \frac{2}{15} S$