(1) ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と $\vec{b} = (-3, 1)$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と $\vec{b} = (-3, 1)$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの内積の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-3) + (-2)(1) = -3 - 2 = -5$

(2) $\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であることから、$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (5\vec{a} + 2\vec{b}) = 0$

展開すると、

$5\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$5|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ を代入すると、

$5(1)^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2(2)^2 = 0$

$5 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 8 = 0$

$-3\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$-1 = (1)(2)\cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{2}{3}\pi$