$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\frac{\sin{\theta}}{1 + \cos{\theta}}$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\frac{\sin{\theta}}{1 + \cos{\theta}}$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\theta} = 2$ であることから、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であるから、$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ となる。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ の関係を用いると、

$(2\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$4\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$5\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{5}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であるから、$\cos{\theta} > 0$ である。よって、

$\cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ より、

$\sin{\theta} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

これらの値を $\frac{\sin{\theta}}{1 + \cos{\theta}}$ に代入すると、

$\frac{\sin{\theta}}{1 + \cos{\theta}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$

分母を有理化するために、分母分子に $\sqrt{5} - 1$ をかけると、

$\frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$