問題は、与えられた3点 $x_0$, $x_1$, $x_2$ を通る平面のパラメータ表示と定義方程式を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた3点 $x_0$, $x_1$, $x_2$ を通る平面のパラメータ表示と定義方程式を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $x_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ の場合

パラメータ表示：

平面上の任意の点 $x$ は、$x = x_0 + s(x_1 - x_0) + t(x_2 - x_0)$ で表されます。ここで、$s$ と $t$ はパラメータです。

$x_1 - x_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$x_2 - x_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

したがって、パラメータ表示は次のようになります。

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

定義方程式：

$x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

$x = 1 + s - t$

$y = 3s + 5t$

$z = 2 + 3s + 4t$

これから $s$ と $t$ を消去します。

$5x = 5 + 5s - 5t$

$y = 3s + 5t$

$5x + y = 5 + 8s$

$8s = 5x + y - 5$

$s = \frac{5x + y - 5}{8}$

$3x = 3 + 3s - 3t$

$z = 2 + 3s + 4t$

$z - 3x = -1 + 7t$

$7t = z - 3x + 1$

$t = \frac{z - 3x + 1}{7}$

$y = 3 (\frac{5x + y - 5}{8}) + 5 (\frac{z - 3x + 1}{7})$

$56y = 21(5x + y - 5) + 40(z - 3x + 1)$

$56y = 105x + 21y - 105 + 40z - 120x + 40$

$35y = -15x + 40z - 65$

$15x + 35y - 40z + 65 = 0$

$3x + 7y - 8z + 13 = 0$

(2) $x_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $x_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ の場合

パラメータ表示：

$x_1 - x_0 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$x_2 - x_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

したがって、パラメータ表示は次のようになります。

$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

定義方程式：

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

$x = 2 - 3s - 2t$

$y = 2s + 5t$

$z = -1 + 4s + 7t$

$5x = 10 - 15s - 10t$

$2y = 4s + 10t$

$5x + 2y = 10 - 11s$

$11s = 10 - 5x - 2y$

$s = \frac{10 - 5x - 2y}{11}$

$7x = 14 - 21s - 14t$

$4y = 8s + 20t$

$5z = -5 + 20s + 35t$

$5x = 10-15s-10t$

$2y = 4s+10t$

$5x + 2y = 10 -11s$

$4z=-4 + 16s+ 28t$

$7y = 14s+35t$

$4z-7y = -4 + 2s -7t$

$2y = 2(\frac{10 - 5x - 2y}{11}) + 5(\frac{z - 1 + 3x - 5z/7}{20})$

3. 最終的な答え

(1)

パラメータ表示: $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

定義方程式: $3x + 7y - 8z + 13 = 0$

(2)

パラメータ表示: $x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

定義方程式: $6x - 13y + 11z - 1 = 0$

計算をやり直した結果、(2)の定義方程式は $6x - 13y + 11z - 1 = 0$になりました。